Александр Чирцов про закон сохранения механической энергии

Спасибо за ролик.

Дмитрий Юрьевич, как всё-таки с тем, чтобы пригласить Игоря Леонардовича в студию? Такие были ролики.. Столько нужной и важной информации для самостоятельной работы..

У нас у профессора по теории строения молекул был любимый коронный вопрос: "Вот вы тут рисуете красивые графики, как электрон сквозь энергетический барьер туннелирует, а это какая энергия, кинетическая или потенциальная?"

После этого многих студентов выносили в истерике.

Просьба не кидаться тапками - я далек от физики и правильной терминологии, но возник вопрос по задаче с солдатами - а нельзя ли ее решить чисто логически следующим образом:
Каждый солдат прыгая с платформы придает ей определенный (одинаковый) импульс, но т.к. масса платформы и оставшихся солдат будет с каждым прыгнувшим солдатом все меньше, то и ускорение придаваемое платформе при спрыгивании солдат будет с каждым разом возрастать. Причем ведь не важно с какой скоростью едет платформа и с какой скоростью движется спрыгнувший солдат (может быть и такое, что солдат будет двигаться с отрицательной скоростью, если его относительная скорость по отношении к платформе в момент прыжка будет меньше скорости платформы относительно начала отсчета), все равно при каждом прыжке солдат будет придавать платформе одинаковый импульс. Или я не прав?

Да, небольшой офтоп - предложение: не хотите ли сделать беседу про путешествие по горам и Европе? Думаю многим было бы интересно. Сам очень люблю пошариться по Хибинам - места просто волшебные, особенно в районе Сейдозера. Для меня как для офисного планктона место где нет людей, стен, заборов и не работает мобильный показалось лучшим местом на земле :)

Александр Сергеевич, у меня есть подозрение, что на 37-й минуте Вы неверно даете определение вектора.
Если система описывается N числами, то эти числа, даже если их разместить в столбик, вектора не образуют.
Например, некая система, описывается температурой, давлением и влажностью, эти числа мы можем разместить в столбик, но это не вектор.
Такие столбики можно складывать и даже умножать на число, но и все. И Вы это подчеркиваете в начале 38-й минуты.
Но Вы сразу же переходите к скалярному произведению векторов.
Векторы можно скалярно перемножить, а столбики, которые Вы определили, нельзя.

И, если разрешите, вопрос. Если вектор имеет N компонент, он существует в N-мероном пространстве.
А образует ли N-мерное пространство столбик из N компонент, если он не является вектором?

Кому: ulmeto, #5

Позволю себе ответить. Вектор, это то же число, только "многомерное", для которых введены специальные определения операций сложения и умножения. Это необязательно направление, хотя это и самая понятная иллюстрация вектора. Вектор может определять и такие "внутренние" состояния типа температуры и давления, как вы сказали. Из таких векторов строится т.н. "фазовое пространство" динамической системы.

Кому: ulmeto, #5

> А образует ли N-мерное пространство столбик из N компонент, если он не является вектором?

Если попытаться расположить в столбик элементы любого непрерывного пространства (даже одномерного), то вся доступная бумага во вселенной закончится быстрее, чем мы успеем перечислить сколь угодно малую часть этого пространства.

Задача с платформой и солдатами решена неверно.
По сути, это -- хорошо известная из курса теор.механики "задача Циолковского" о ракете:
М -- сухая масса ракеты = масса платформы
m -- масса топлива = суммарная масса солдат
u -- скорость истечения реактивной струи = скорость прыжка солдат относительно платформы.
Задача без проблем решается в системе координат, связанной с ракетой (платформой) -- вопреки утверждению лектора. В результате интегрирования дифференциального уравнения получается формула Циолковского для конечной скорости ракеты (в нашем случае платформы) :

V = u * ln( 1 + m/M) .

Если же масса отбрасывается одновременно (солдаты одновременно спрыгивают), то конечная скорость ракеты (платформы) получается из простейшей задачи на сохранение импульса (вот её и решают в неподвижной системе координат) :

V_одновр = u*m/M .

При малом соотношении m/M результаты по этим двум формулам получаются близкие. Если в первой колонке записать соотношение (m/M), во второй (V/u), в третьей (V_одновр/u), то получим:

0,1 0,095 0,100
0,2 0,182 0,200
0,3 0,262 0,300

И так далее.
Видно, что -- вопреки утверждениям лектора -- одновременный отброс массы даёт более высокую конечную скорость, хотя при малом соотношении масс (m/M) преимущество будет небольшим.

Столь вопиющее падение уровня преподавателей механики весьма и весьма прискорбно.

Кому: GrUm, #6

> Позволю себе ответить. Вектор, это то же число, только "многомерное", для которых введены специальные определения операций сложения и умножения.

Позволю себе пояснить.
Пример с давлением и температурой не очень хорош, поскольку эти характеристики неаддитивны и для них правила сложения и умножения могут и не быть введены.
Другой пример.
Вот у нас система, описывающаяся количеством частиц и объемом, который эти частицы занимают.
Для описания системы мы вводим некоторую характеристику-столбик:
X = (N)
(V).
Элементы таблицы аддитивны. Мы можем сложить две характеристики:
X1+X2 = (N1+N2)
(V1+V2)
Мы можем умножить характеристику на число:
aX = (aN)
(aV)
Является ли характеристика X вектором? В соответствии с определением, данным Александром Сергеевичем, да.

Но! Вектора можно умножать скалярно, а эту характеристику – нельзя!
Иначе:
X1,X2 = N1*N2+V1*V2
И у нас в правой части равенства разнородные слагаемые!

С геометрическим пространством понятно и с ним вопросов нет: у нас все компоненты однородны, если мы раскладываем, например, скорость по геометрическим осям, то у нас по длине, ширине и высоте компоненты являются скоростью. С ней можно делать все, что можно делать с вектором: складывать, вычитать, умножать на другой вектор скалярно и векторно.

А у приведенной в примере характеристики компоненты разнородны. Хоть она и имеет свойства вектора, вектором она не является.

Далее.
В геометрическом пространстве мы можем выделить орты ex, ey, ez.
В приведенном примере тоже можно выделить орты eN и eV.
Но пространство ли у нас определяется этими ортами, или какая-то другая математическая категория?
А если N-V у нас пространство, то оно радикально отличается от геометрического пространства X-Y-Z. Компоненты пространства X-Y-Z однородны и некоторым образом связаны, а компоненты пространства N-V - независимы.

Можно пойти еще дальше.
Почему бы не ввести пятимерное пространство N-V-X-Y-Z.
В таком пространстве у нас компоненты пространства обладают существенно разными свойствами. В части компонент пространства мы можем ввести понятие вектора, а в части - нет.
И еще дальше. Возникает вопрос, не может ли существовать пространство с совсем уж экзотическими компонентами? Например, в плоскости N-X может быть образован вектор и в плоскости N-Y может быть образован вектор, а в плоскости X-Y вектор образован быть не может?

Кому: GrUm, #7

> Если попытаться расположить в столбик элементы любого непрерывного пространства (даже одномерного), то вся доступная бумага во вселенной закончится быстрее, чем мы успеем перечислить сколь угодно малую часть этого пространства.

Речь идет о компонентах, а не об элементах. Например, в геометрическом пространстве положение точки задается тремя компонентами вектора: длиной, шириной и высотой (X,Y,Z).

Кому: Kepler, #8

> Задача с платформой и солдатами решена неверно.

Вы путаете скорости.
В Вашей первой формуле u - скорость относительно ракеты (платформы), а во второй у Вас u - скорость относительно земли.
Если полагать, что u - скорость относительно платформы, как в условии задачи, то у Вас во второй формуле в знаменателе появится дополнительное слагаемое и факт, что по второй формуле результат получается больше, не очевиден.

Задача про заводную машинку замечательный пример очень важного подхода в физике "подогнать под ответ" :)

Кому: ulmeto, #9

> И у нас в правой части равенства разнородные слагаемые!

Возьми дифуры типа уравнения Навье-Стокса или хаотическую систему Лоренца. Там все будет очень сложно с физической однородностью слагаемых. (:

Кому: Kepler, #8

> Задача с платформой и солдатами решена неверно.
> По сути, это -- хорошо известная из курса теор.механики "задача Циолковского" о ракете:

Думаю, вы всё же ошибаетесь. Вы не можете перейти к интегрированию и получить натуральный логарифм, т.к. для этого масса отдельного солдата должна устремиться к нулю, а число солдат к бесконечности. У вас нет непрерывной функции, а есть только ряд, значения которого определены только для целых натуральных чисел k=1..N. Сумму этого ряда, кстати, Чирцов не готов был определить (я полагаю ряд расходится, но точно я этого не знаю). Уравнение Циалковского будет справедливо для тела переменной массы, причём масса должна изменяться непрерывно, а не дискретно. Но это только моё предположение.

Ой, а как же лагранжианы? Куда же без них в механике?

Про купол:
Если проведем ось от центра купола до пацана, то по 2 закону Ньютона проекция всех сил на эту ось:
-m*Aц = N - m*g*cos(a), где Ац = v^2/r – центростремительное ускорение, r – радиус купола, v – скорость в момент отрыва.
Пацан оторвется от купола в момент, когда сила реакции опоры N = 0 =>
m*v^2/r = m*g*cos(a)
v^2 = g*r*cos(a)

Из закона сохранения полной мех энергии:
m*g*r = m*g*h + m*v^2/2 , где h=r*cos(a) – высота от основания купола до места отрыва. Подставляем v^2 =>
g*r = g*r*cos(a) + g*r*cos(a)/2
Ответ: cos(a) = 2/3

Решение задачи с полуметровой петлей.
Для начала определим потребную скорость в точке отрыва.
После отрыва движение тела описывается:
L_x = V_x*t
L_y = -g*t^2/2+V_y*t

где
V_x = V*cos60
V_y = V*sin60

Чтобы тело упало обратно в петлю, требуется:
L_x = 2*R*sin60
L_y = 0

Подставляем все в первую систему:
2*R*sin60 = V*cos60*t
0 = -g*t^2/2+V*sin60*t

Выражаем время из первого уравнения:
t = 2*R*sin60/(V*cos60)

Во втором сокращаем-переносим:
V*sin60 = g*t/2

Подставляем время:
V*sin60 = g*2*R*sin60/(2*V*cos60)

Сокращаем-переносим:
V^2 = g*R/cos60

Кинетическая энергия тела в точке отрыва:
K = m*V^2/2 = m*g*R/(2*cos60)

Высота, с которой происходит отрыв:
h = R+R*cos60

Потенциальная энергия в точеке отрыва:
П = m*g*h = m*g*R*(1+cos60)

Полная энергия в точке отрыва и вообще, тела при движении:
W = K+П = m*g*R/(2*cos60)+m*g*R*(1+cos60) = m*g*R*(1/(2*cos60)+1+cos60) = 2,5*m*g*R

Полная, она же потенциальная энергия в точке начала движения:
W_n = m*g*H

Приравнивая, получаем H, высоту начала движения:
H = 2,5*R
Два с половиной радиуса.

Вторая часть задачи.
Кинетическая энергия в нижней части траектории равна полной энергии:
K = m*v_n^2/2 = 2,5*m*g*R

Отсуюда:
v_n^2/R = 5*g

Из школы, центростремительное ускорение:
a_c = v_n^2/R = 5*g

Полное ускорение, которое испытывает тело в нижней части траектории:
a = a_c + g = 6*g
Тело испытывает шестикратную перегрузку.

Кому: ulmeto, #16

Решил данную задачу для простого случая, когда мертвая петля целая, и у меня получился такой же ответ, как у Вас h = 2,5 * R, думаю в вашем решении есть где-то неверное рассуждение. Т.к. высота должна получится больше чем в первом варианте...

Кому: ulmeto, #16

К тому же обычный человек может выдерживать перегрузки до 15 g около 3—5 секунд без потери сознания. Думаю ответ должен быть около этого значения.

Кому: ulmeto, #16

Интересно, решив задачу с вырезом в общем виде я получил: h = R * [1 + cos(a) + 1/(2*cos(a))], при угле в 60 результат такой же как и без выреза h = 2.5 * R :). Ваш ответ все-таки верен.

Кому: Kepler, #8

> Если же масса отбрасывается одновременно (солдаты одновременно спрыгивают)

здесь наблюдается подмена исходной задачи "солдаты одновременно разбегаются" на задачу "солдаты одновременно спрыгивают". Дальнейшие выводы, соответственно, неверные.

Кому: ulmeto, #10

Я отнюдь не путаю скорости. Солдат прыгает с платформы, отталкиваясь от неё. Поэтому "скорость отброса массы" будет измеряться в системе координат платформы. И в этой системе она будет оставаться постоянной -- вне зависимости от скорости платформы относительно неподвижной системы координат.

Кому: DSDmitriev, #13

Строго говоря, Вы правы. Однако лектор сам допустил переход к бесконечному ряду, то есть превращения "дискретных солдат" в "континуальную солдатскую массу". ))))))))))))))))))))))

В это случае мы переходим к бесконечно малым величинам и получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка, решаемое в квадратурах.

Кому: Kepler, #21

> Я отнюдь не путаю скорости. Солдат прыгает с платформы, отталкиваясь от неё.

Нет. По условию задачи солдат не прыгает с платформы, а идет по ней и "сваливается" без прыжка.
Поэтому в случае единовременного "сваливания" всех солдат вместо равенства

M*V_одновр = N*m*u

нужно использовать равенство

M*V_одновр = N*m*(u-V_одновр)

Тогда Ваша формула

V_одновр = u*m/M

неверна.

Вместо нее будет:

V_одновр = N*u*m/(M+N*m)

Кому: Platoon, #4

Это вопрос не ко мне, а к организаторам:)

Кому: ulmeto, #5

"Например, некая система, описывается температурой, давлением и влажностью, эти числа мы можем разместить в столбик, но это не вектор.
Такие столбики можно складывать и даже умножать на число, но и все. И Вы это подчеркиваете в начале 38-й минуты" ----
Почему? , лишь бы эта операция в результате давала число и обладала рядом "хороших" свойств.
Другой вопрос - приносит ли реальной физике, решающей реальные задачи какую-либо пользу так введенные векторы - боюсь, что нет. Но математику это не сильно волнует....
Последний Вш вопрос не понял - как векторное пространство )множество векторов) само может образовывать столбец?

Кому: Kepler, #8

Прежде чем ужасаться, попытайтесь сами обосновать соотношение
V = u * ln( 1 + m/M)
в рамках условия поставленной задачи. Или Вы считаете, что приведенная Вами формула верна всегда? Должен Вас огорчить - это не так :)

Кому: Platoon, #3

Кидаться в Вас тапками смысла большого не имеет. Попробуйте ответить сами себе на вопрос:
Почему Ваше утверждение "Каждый солдат прыгая с платформы придает ей определенный (одинаковый) импульс" верно? И верно ли оно на самом деле?

Кому: ulmeto, #23

В моих обозначениях:
u - скорость солдата относительно платформы;
m - суммарная масса солдат.

Не имеет значения, разгоняется солдат по платформе постепенно или прыгает сразу. Самое главное, что он, отталкиваясь от платформы, разгоняется и покидает её с относительной скоростью "u". Соответственно, при одновременном покидании все солдаты передадут ей импульс m*u.
Закон сохранения импульса запишется в виде:

M*V_одновр = m*u .

Заметим, что в Вашей постановке задачи платформа приобретёт результирующую скорость не в тот момент, когда солдаты дойдут до края и "упадут", а в тот момент, когда они закончат свой разгон до конечной относительной скорости "u" -- в этот миг они передадут платформе весь импульс m*u .

Кому: Kepler, #28

> Не имеет значения, разгоняется солдат по платформе постепенно или прыгает сразу.

Имеет весьма существенное значение.
В первом случае платформа имеет некоторую скорость относительно земли и при покидании платформы ее скорость не меняется.
Скорость солдата в этом случае относительно платформы будет u, а относительно земли: u-V.
То есть для первого случая, если солдат у нас один, уравнение относительно земли:

M*V = m*(u-V)

А во втором случае и платформа и солдат приобретают скорости в момент прыжка.
Тогда уравнение запишется как:

M*V = m*u

Первый случай рассмотрен в лекции, второй случай рассматриваете Вы.
Это разные случаи.

Кому: alex_chirtsov, #25

> Последний Вш вопрос не понял - как векторное пространство )множество векторов) само может образовывать столбец?

В русском языке именительный и винительный падежи зачастую имеют одну и ту же форму…
Переформулирую.
Образует ли столбик из N компонент, если он не является вектором, N-мерное пространство?

Хотелось бы получше разобраться в математических понятиях «пространство» и «вектор».

С геометрическим пространством все понятно: у нас имеются пространственные компоненты X-Y-Z, они однородны (имеют одну размерность), в нем можно сформулировать понятие «вектор», векторы в нем можно складывать, умножать на число, перемножать между собой векторно и скалярно.

А вот если у нас некая система описывается разнородными параметрами (например, давление-температура или количество частиц-объем). Формируют ли эти параметры некое пространство давление-температура, или нет?
Если это не пространство, то что это за математический объект?
Если это пространство, можем ли мы в таком пространстве сформулировать понятие «вектор»?
Если каждый параметр, описывающий систему, обладает свойством аддитивности, то для столбиков с параметрами (определяющих в таком «пространстве» некую точку) справедливы правила сложения и умножения на число. Тогда в Вашей терминологии такой столбик является вектором.
Но скалярное произведение таких объектов невозможно, потому что слагаемые произведений компонент таких объектов будут иметь разную размерность. Тогда вектор ли это или какой-то другой математический объект?

> Другой вопрос - приносит ли реальной физике, решающей реальные задачи какую-либо пользу так введенные векторы - боюсь, что нет.

Так введенные «пространства», безусловно, приносят пользу. В термодинамике, например, процессы могут рассматриваться в «пространствах» давление-температура или энтропия-энтальпия. А вот насколько применимо для таких «пространств» понятие «вектор» - вопрос.

Касательно задачи с машинкой и пружинкой.

Суть в том, что в процессе разгона машинки кроме пружинки участвует Земля, об которую пружинка разгоняет машинку.
Соответственно, часть энергии пружинки получит машинка, а часть – Земля.
В системе, в которой в начальный момент времени и машинка и Земля неподвижны, эту долю можно определить так:
Из закона сохранения энергии:
П = M*V^2/2+m*v^2/2

где П – потенциальная энергия пружинки, M, V – масса и скорость Земли, m, v – масса и скорость машинки.

Из закона сохранения импульса:
0 = -M*V+m*v

Выражаем скорость Земли:
V=v*m/M

Подставляем в формулу для энергий:
П = M*v^2*m^2/M^2/2+ m*v^2/2 = v^2*m^2/M/2+ m*v^2/2 = m*v^2/2*(1+m/M)

m*v^2/2=П/(1+m/M)

Машинка получит энергии чуть-чуть меньше, чем П, остаток получит Земля.

Можно весь этот процесс рассмотреть в движущейся системе.
В этой системе дополнительную энергию, которую получит машинка, она отнимет у Земли, затормозив ее.

Кому: ulmeto, #32

Не понятно какую вы систему отчета выбрали в данном случае, в космосе что-ли?
По условию задачи нужно сравнить случаи в системе отчета связанной с Земле и с бегущим человеком. Скорость Земли тут не должна учитываться.

Кому: DarkAlex, #33

> Не понятно какую вы систему отчета выбрали в данном случае, в космосе что-ли?

В космосе. Систему отсчета, в которой Земля первоначально покоится.
А систему отсчета, связанную с Землей, мы выбрать не имеем права, поскольку система отчета, связанная с Землей, в данном случае неинерциальна.

Здесь есть еще один момент. Земля начнет не двигаться в противоположную от машинки сторону, а вращаться в противоположную сторону. И в этом случае система отсчета, связанная с Землей, будет неинерциальной.
Но, я так понимаю, это тема следующей лекции.

Кому: ulmeto, #32

Очень разумно, коллега. Даже если Вы об этом где-то прочитали. Если сами додумались, то Вы - ГИГАНТ!

Кому: DarkAlex, #15

принято!

Кому: ulmeto, #31

Надо понимать, что разные люди в разных обстоятельствах под термином "вектор" понимают разные вещи. Такое случается довольно часто (особенно в смежных дисциплинах), потому что понятий больше, чем подходящих терминов, а каждый раз применять точное определение из десяти слов неохота.

По поводу вектора я, навскидку, могу вспомнить три немного разных определения:

1) Вектор как элемент векторного пространства. С этим определением да, любой столбик из чисел - это вектор.

2) На этом пространстве можно ввести скалярное произведение, то есть, метрику (я сейчас не рассматриваю случаи переменной метрики типа криволинейных координат и ОТО, поскольку сам очень слабо в этом разбираюсь). Это ближе к тому, о чём ты говоришь.
Размерность у всех чисел, кстати, не обязательно должна быть одинаковой, если метрика не безразмерная, и если аккуратно ограничить набор возможных линейных преобразований. Например, в механике довольно часто можно встретить вектор обобщённых скоростей, где у разных элементов разные размерности (скажем, м/с и рад/с), но метрика (в форме матрицы масс) всё равно присутствует.

3) Можно пойти ещё дальше и сказать, что вектор - это то, что преобразуется как радиус-вектор при соответствующем ортогональном преобразовании координат (скажем, повороты в 3D и преобразования Лоренца в 4D). Это довольно сильное определение, и мало какой наобум взятый набор чисел (даже с одинаковой размерностью) будет ему соответствовать. Скажем, набор из трёх скоростей (v_x, v_y, v_z) - вектор, а набор (v_x, v_z, v_y) - уже нет.

И это ещё не говоря про вектора в программировании или биологии.

Задача о машинке с пружинкой очень интересная!

Машинка разгоняется силой трения .Обозначим ее Fтр = m*a.
Энергию пружинки будем считать внутренней энергией машинки Eвн.
Изменение внутренней энергии обозначим дЕвн
u(t) - скорость машинки относительно земли
v- скорость бегуна . Постоянная!!!
Тогда в системе отсчета земли

m*u^2/2= дEвн

В системе отсчета бегуна надо найти работу силы трения, поскольку в этой системе отсчета нижняя точка колеса движется со скоростью v

dA= Fтр*dx=Fтр*v*dt= m*v*a*dt

Если это выражение проинтегрировать , то получим :

Атр= m*v*u

Тогда изменение кинетической энергии в системе отсчета бегуна , при условии потенциальность всех сил, будет равно:

m*(v+u)^2/2 - m*v^2/2 = Aтр + дЕвн = m*v*u + дЕвн

Сократив получаем ту же самую формулу:

m*u^2/2 = дЕвн

Есть ещё один момент в задаче. Если все силы потенциальны и пружинка имеет массу, то машинка будет все время двигаться с переменной скоростью. В этом случае :

К*дX^2/ 2 > m*Vср^2/2, V ср - средняя скорость движения машинки.

А если есть внутренняя сила трения, то окончательно установится равномерное движение, но в этом случае

К*дX^2/2 > m*V^2/2 , где V - установившаяся скорость движения.

Интересно найти в рамках какой-нибудь разумной модели КПД пружинки

Кому: ulmeto, #34Jnbxyj!

Отлично!

Кому: ulmeto или DarkAlex

Про вторую часть задачи с машинкой. Потенциальная энергия машинки k*dX/2.

Чему равна dX в системе отсчета связанной с бегуном? Мне этот вопрос оказался не по зубам :(

Кому: Kuka, #40

> Чему равна dX в системе отсчета связанной с бегуном? Мне этот вопрос оказался не по зубам :(

Точно также, как и в первой системе отчета. Энергия пружинки в разных системах не меняется.
П1 = П2 = k*dx^2/2
dx_1 = dx_2

Но в первой системе отсчета при неподвижных Земле и машинке при распрямлении пружинки машинка едет в одну сторону, а Земля двигается в другую.
А можно решить задачу и во второй системе.
В ней изначально и земля и машинка двигаются со скоростью u.
При распрямлении пружинки машинка еще больше ускоряется и ее кинетическая энергия растет, а Земля пружинкой тормозится и ее кинетическая энергия уменьшается.

Кому: alex_chirtsov, #35

> Очень разумно, коллега.

Александр Сергеевич, я тут не причем. Вы сами дали все подсказки:
1. Задача имеет решение.
2. Для решения задачи достаточно законов сохранения.

Очевидно, что закона сохранения энергии для решения задачи недостаточно, значит надо использовать закон сохранения импульса.
Встает вопрос, к каким объектам можно применить закон сохранения импульса.
Отвечаем на вопрос и все, задача решена.

Кому: ulmeto, #41

Чтоб убрать погрешность из первой задачи про машинку, считаем что земля имеет бесконечную массу и является абсолютно твердым телом.
В системе бегуна, до начала работы пружины, машинка имеет энергию П_2+(mV^2)/2. Где П_2- потенциальная энергия в системе бегуна.
После окончания работы пружины машинка имеет энергию 4(mV^2)/2
Отсюда П_2 = 3(mV^2)/2
В первой задаче П_1=(mV^2)/2
Получается что потенциальная энергия машинки зависит от выбора системы координат.
Предположим что коэффицент k в законе Гука не зависит от системы координат.
Тогда dx_2= dx_1*3^(1/2).
Я не могу представить геометрию этого решения.

Кому: Kuka, #43

> Чтоб убрать погрешность из первой задачи про машинку, считаем что земля имеет бесконечную массу и является абсолютно твердым телом.

Это не погрешность, в этой задаче нельзя убирать Землю из рассмотрения.
Машинка получает энергию не только за счет пружинки, но и за счет Земли.
Для второй системы отсчета закон сохранения:

M*u^2/2 + m*u^2/2 + П = M*(u-V)^2/2 + m*(u+v)^2/2

Где M, m – массы Земли и машинки.
V, v – изменение скоростей Земли и машинки
u – начальная скорость земли и машинки (скорость наблюдателя).

Изменение кинетической энергии машинки:
DK_m = m*(u+v)^2/2 - m*u^2/2 > 0

Изменение кинетической энергии Земли:
DK_M = M*(u-V)^2/2 - M*u^2/2 < 0

Изменение кинетической энергии машинки, выраженное через потенциальную энергию пружинки и изменение кинетической энергии Земли:
DK_m = П - DK_M

В этой системе отсчета пружинка тормозит Землю и за счет этого разгоняет машинку.
А потенциальная энергия пружинки остается одинаковой в обеих системах отсчета.

Кому: ulmeto, #44

Спасибо, только я уже нашел в каком направлении правильно решать вторую задачу про машинку.

здесь закон Гука F=kdX_1 работает а формула потенциальной энергии п=k*dX_1^2/2 не верна.
Для потенциальной энергии необходимо выбрать точку нулевого потенциала. Что очевидно для силы тяжести (с крыши трехэтажного дома приятней падать на балкон 3 этажа чем на балкон 1 этажа) и неочевидно для сил упругости. Выбираем точку нулевого потенциала там где машинка начинает разгонятся. За время t пока машинка разгоняеться на участке dX_1, точка нулевого потенциала отъедет на расстояние S=V/t. То есть dX_2=dX_1+S. А дальше надо пересчитывать закон Гука и формулу потенциальной энергии в новых координатах, а там надо интегрировать. Я подожду ответ проффесора в видео или аналогичного гражданина здесь

Кому: ulmeto, #31

Всё проще. Нас самом деле существует бесконечно много скалярных произведений, если формально подходить, то конечномерное пространство (в частности трехмерное) это набор столбиков, а скалярное произведение это операция которая по 2 векторам выдает число и удовлетворяет ряду аксиом - полулинейность, положительная определенность, эрмитовость (симметричность).
В физике в обычном трехмерном пространстве как в самом простом варианте фиксируются базис и это самое скалярное произведение. Если вы будете складывать элементы разной природы - вам лишь нужно договориться как их складывать. Условно, для того, чтоб к элементу размерности метр прибавить элемент размерности секунда, последний можно домножить на константу - скорость света в вакууме.
А если подходить совсем формально, есть такое понятие как свободная сумма - в математике можно складывать что угодно с чем угодно, как говорит докладчик, это лишь математическая абстракция. Если она поможет - флаг в руки, если нет, её можно положить на полку.

То, что струны состоят из энергии не так пугает, как то, что Вселенная, в основном, состоит из тёмной энергии (https://ours-nature.ru/lib/b/book/940291573/79)!
Вообще, спасибо за лекции, мозги чистит не хуже нашатыря!

Кому: er.liu, #47

Вселенная в основном состоит из темной материи, не участвующей ни в каком взаимодействии кроме гравитационного, а темная энергия это просто ширма, под которой срываются непонятки связанные с расширением вселенной