Александр Чирцов про функции распределения Максвелла

Страждущим наверстать предыдущие лекции:
25 мая 2018 https://www.youtube.com/watch?v=BYXwPZ0ncc4 о математике в физике
18 июн. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=VKUwCClf7Oo о пространстве, времени и предсказании будущего
23 июн. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=dIgMzRI6o9c законы Ньютона - это нетривиально
10 июл. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=3uxxJJ2G3UI про силы природы как фундаментальные взаимодействия
17 авг. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=vVG1IfxsSkY о законе сохранения
10 сент. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=UqbNEdOOAkQ про закон сохранения механической энергии
30 сент. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=QDM15IlKjtI о языке физики и моменте импульса
17 окт. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=aW0gCOM4Z_c всё о моменте импульса
28 окт. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=8nhxSaa5V0Y про небесную механику Кеплера и Ньютона
8 нояб. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=wJNfBXszz9U про вывод тела на орбиту и космические скорости
27 нояб. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=ZObV49y4S9g про абсолютно твердое тело
12 дек. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=QZA-yNZ6WQo Момент истины о моменте инерции
7 февр. 2019 https://www.youtube.com/watch?v=ql7qeI85n5Q о теории вероятностей и классической статистике
Поскольку для понимания содержания критически требуется знание предудщих лекций, возможно ли оформить в плейлист на канале?

Спасибо большое за материал!

Кому: GrUm, #1

спасибо огромное за сведение в подборку!

Кому: GrUm, #1

> возможно ли оформить в плейлист на канале?

https://www.youtube.com/playlist?list=PLQCYG6lKBuTa6E3Aa9JabSWis0ywd84NL

Огромное спасибо, в школе не догнал, а тут всё понятно.Вот одно не понимаю - как люди до такого додумваются, на входе интеграл экспоненты, а на выходе корень из пи? Респект и зависть.

Кому: Микояныч, #4

> Вот одно не понимаю - как люди до такого додумваются, на входе интеграл экспоненты, а на выходе корень из пи?

Гораздо более глубокий вопрос - почему, то, что получается на выходе "математической мясорубки" имеет место в реальности? Что-то математика такое знает о природе бытия. И, может, не "Математика — это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы", как утверждал академик Арнольд, а строго наоборот?

Прошу извинения за поздний комментарий.
Я несколько ограничен во времени и смотрю лекции с запозданием.
Касательно задачки по взятию интеграла.
Разрешите привести решение.

Прежде всего нотация. Интеграл от a до b буду писать как (a)INT(b).

Итак, мы остановились на том, что:

I^2 = (-oo)INT(+oo)exp(-x^2)dx*(-oo)INT(+oo)exp(-y^2)dy

Запишем этот интеграл как:

I^2 = (-oo)INT(+oo)(-oo)INT(+oo)exp(-(x^2+y^2))dxdy

Как указано в лекции, это некий обем под "колокольчиком", который формирует функция I^2 в пространстве XY.
Введем новые переменные.
Пусть r - расстояние до рассматриваемой точки плоскости, a - угол между выделенной осью и направлением на рассматривамую точку.
Будем считать площади колечек на расстоянии r от начала отсчета.
Площадь маленького элемента колечка:

ddS = r*da*dr

Площадь колечка толщиной dr с радиусом r:

dS = (0)INT(2*pi)r*dr*da

Здесь мы интегрируем по углу.
Тогда:

dS = 2*pi*r*dr

Далее выразим x и y через r и a:

x = r*cos(a)
y = r*sin(a)

Тогда:

exp(-(x^2+y^2)) = exp(-(r^2*sin(a)^2+r^2*cos(a)^2))

Внутри экспоненты выносим r за скобки:

exp(-(r^2*sin(a)^2+r^2*cos(a)^2)) = exp(-r^2*(sin(a)^2+cos(a)^2))

Как известно, sin(a)^2+cos(a)^2 = 1. Это тригонометрическое тождество.

Тогда

exp(-(x^2+y^2)) = exp(-r^2)

Чтобы найти значение первого интеграла, нам надо ее проинтегрировать по всем площадям колечек dS

I^2 = (0)INT(+oo)exp(-r^2)dS

dS мы нашли выше. Подставляем:

I^2 = (0)INT(+oo)exp(-r^2)2*pi*r*dr

Здесь мы интегрируем от 0 - начала отсчета до бесконечности, поскольку мы интегрируем площади.

Выносим пи:

I^2 = pi*(0)INT(+oo)exp(-r^2)2*r*dr

А выражение 2*r*dr запишем как:

2*r*dr = dr^2

То есть внесем r под знак дифференцирования. Тогда:

I^2 = pi*(0)INT(+oo)exp(-r^2)dr^2

Такой интеграл легко берется.

I^2 = pi*((-exp(-oo^2)dr^2)+exp(-0^2)dr^2)

Экспонента от минус бесконечости: ноль.
Экспонента от нуля: единица.
Отсюда:

I^2 = pi

Или:

I = pi^(1/2).

Что и требовалось доказать.

Не по теме.
Сюда бы неплохо редактор формул встроить, а то, как говорится в анекдоте, очень неудобно копытом телефонный номер набирать.